Matemáticas en Ingeniería

¿Por qué hay que estudiar (tantas) matemáticas en los cursos de Ingeniería? Hablaré de la Escuela de Ingeniería que conozco (la Politécnica de Gijón) pero todo generaliza a España sin problemas.

Hoy día, en los cuatro años de grado, se ofrecen los siguientes créditos de Matemáticas, que encajan aproximadamente en 4 ó 5 horas semanales.

Los Métodos Numéricos no son una asignatura básica (por mucho que sea troncal) y están fuera de lugar en un primer curso, pues para aplicar métodos hace falta tener problemas a los que aplicarlos. En el segundo semestre de primero, aun no se han planteado problemas ingenieriles serios a los que aplicar métodos numéricos. El hecho de que sea una asignatura difícil no la hace formativa.

Por tanto, se ofrecen 18 créditos realmente útiles. A los alumnos les parece demasiado, claro. Y a los demás departamentos también. Voy a explicar por qué son pocos.

Qué es un ingeniero

La ingeniería es la aplicación de la Física al planteamiento y resolución de los problemas técnicos. No lo es la propia ejecución de dichas soluciones, pues de esto se ocupan los trabajadores manuales. Por ejemplificar: planear una carretera es un trabajo ingenieril, construirla según unos planos ya no; diseñar un circuito impreso es un trabajo ingenieril, fabricarlo no; planificar la organización de un puerto es un trabajo ingenieril, llevarla a cabo según las especificaciones no; resolver los problemas técnicos en cualquiera de estos ejemplos es propio de un ingeniero, también. Por supuesto, quien mejor gobernará la ejecución de un proyecto será un ingeniero, al comprender completamente el diseño y la solución, pero la propia tarea de la ejecución recaerá en trabajadores especializados en cada operación.

Así pues, el ingeniero es quien, por su conocimiento (y experiencia, cuando la tenga) de los principios físicos es capaz de plantear y ofrecer soluciones a problemas técnicos, de un tipo u otro (de aquí las diversas especialidades).

El matiz de plantear es clave: un problema no tiene un sentido técnico preciso mientras no se exprese de una forma inteligible, clara y útil. Para plantear un problema es necesario conocer su ámbito, los datos concretos y poder enunciarlo de manera inequívoca en un lenguaje preciso. “Hay que poder ir de Salamanca a Cádiz” no significa nada. “Necesitamos un camino que una Salamanca y Cádiz por el que puedan desplazarse vehículos capaces de transportar contenedores llenos” ya es algo más claro.

¿Y por qué es la aplicación de la Física? Porque la Física es, en términos clásicos, la ciencia de lo que cambia, que en ese contexto significa la ciencia de lo material, por oposición a la ciencia de lo físico abstraído de la materia (las matemáticas) o a la ciencia de lo real inmaterial (la metafísica) . Podría haber utilizado cualquier otra expresión para expresar que: el ingeniero utiliza recursos científicos para resolver problemas técnicos. Esos recursos científicos son “la Física”. Un Ingeniero debe saber Física porque es la ciencia de su trabajo. De ahí los estudios de Mecánica, Electromagnetismo, Teoría de la Señal, Relatividad (el GPS, uno de los avances ingenieriles más importantes del Siglo XX, utiliza cálculos relativistas para poder ser preciso como lo es), Óptica…

La física habla en matemáticas

La necesidad de la Física exige estudiar Matemáticas porque la Física que conocemos hoy habla mediante enunciados matemáticos. La manera que la Física moderna tiene de entender el mundo es mediante modelos idealizados que se expresan de manera clara y precisa con el lenguaje del Álgebra y del Cálculo. Los problemas físicos se enuncian utilizando parámetros (que son los elementos que describen el estado del sistema) y, habitualmente, ecuaciones que ligan dichos parámetros (a veces son inecuaciones).

Describo a continuación algunos de los ejemplos más relevantes de nociones físicas que se expresan formalmente con conceptos matemáticos.

1. La noción de variación de un valor respecto a otro se traduce en el concepto de derivada. Ejemplos elementales: velocidad, gradiente de concentración, gradiente de temperatura, pendiente, escala, dilatación, presión… Como consecuencia, los problemas dinámicos (de cambio) se expresan utilizando ecuaciones en las que la variación de los parámetros sigue una ley: Ecuaciones Diferenciales.

2. La noción de grado de libertad se traduce en el concepto de dimensión de un espacio vectorial. Ejemplos: nodos en problemas de estática, grados de libertad de un robot, restricciones al movimiento en un fluido… Las ecuaciones que describen relaciones de grados de libertad son, por lo general, lineales. Y su estudio general está cubierto por el Álgebra Lineal.

3. La Física de los problemas con parámetros constantes es muy sencilla (todas las leyes son lineales en los parámetros). Esto es lo que hace que las Leyes de Newton sean lineales, lo mismo las de la electricidad elemental y la mecánica de movimientos lineales y movimientos circulares de partículas a velocidad constante. Pero la realidad no es así: los movimientos no son lineales, o la velocidad no es constante, o no son partículas aisladas, o los circuitos eléctricos tienen componentes variables… De aquí que haga falta conocer cómo se puede pasar de la Física “sencilla” de parametros constantes a la Física general en que los parámetros cambian dentro de un sistema. Esto es lo que se hace mediante el Cálculo Integral.

4. La Física estudia elementos escalares (temperatura, distancia, densidad…) y elementos vectoriales (radiación, presión, campo gravitatorio, eléctrico, magnético…). Estos últimos interactúan con otros elementos (curvas, superficies…). El estudio de estas interactuaciones se denomina Cálculo vectorial.

Dejo muchos asuntos en el tintero (p.ej. el estudio de las funciones complejas) pero con eso basta para ilustrar por qué es imprescindible, para un ingeniero, conocer seriamente las nociones matemáticas de derivada, ecuación diferencial, dimensión, subespacio vectorial, integral múltiple, campo de vectores… Todas ellas son esenciales para poder comprender los enunciados físicos modernos, incluso los más elementales: ¿por qué un panel solar genera más energía si se pone perpendicular a la luz solar que si está oblicuo?

Pero “yo soy ingeniero y no necesito todo eso”

Esta es una afirmación que se repite… La respuesta es clara: no se pudo predecir tu futuro profesional mientras estudiabas la carrera.

Por supuesto, no todos los ingenieros van a necesitar todos los conceptos que se le explican en la carrera durante su vida profesional pero la formación de una carrera universitaria ha de cubrir todas las posibilidades. Y, sea cual sea la especialidad de ingeniería, es muy difícil encontrar una en que las ecuaciones diferenciales, el álgebra lineal y el cálculo vectorial no jueguen un papel importante.

¿Son muchos créditos, entonces?

En fin: se ofertan 18 créditos formativos troncales de matemáticas. Compárese con los 12 + 12 + 9 + 9 = 42 + (6 de Métodos en cuarto = 48) de los (planes antiguos) (antiguos), si no me quedo corto, pues pasar horas/semana a créditos no es sencillo.

Desde mi experiencia de ya más de diez años… Son muy pocos. Porque aprender requiere tiempo, repetición y, en el campo de las matemáticas, la resolución de muchos problemas: son esenciales para entender los conceptos.

En la asignatura de Ampliación de Cálculo se supone que debo explicar, en un total de 56 clases:

• Cálculo integral en varias variables
• Cálculo vectorial de curvas y superficies
• Ecuaciones Diferenciales
• Variable compleja

Si dividimos 56 entre 4 tenemos 14 horas de clase por cada tema. En realidad, cualquiera de dichos temas requeriría, como poco, 30 horas.

Son muy pocos.

Quién paga: los alumnos y, desgraciadamente, los ciudadanos del futuro, que descubriran que una sociedad solo prospera si cuida a sus ingenieros. Es curioso que el desarrollo en infraestructuras en España durante las décadas de los 80 al 2010 siguiera la implantación de unos estudios de ingeniería (en la década de los 70) que eran la envidia de Europa…