Métodos Numéricos

No hablo casi de mi trabajo como profesor porque, como pienso que le pasa a casi todo el mundo, uno le da menos importancia que la que otros ponen en él.

Pero esta semana tuve una breve conversación con un colega en la que le ponderé lo mala que es la asignatura del título de este texto en la Escuela de Ingeniería en que doy clase. Lo hice porque ya estoy preparando el examen final y, tras haberla impartido varias veces, he concluido que es un timo.

Quizás lo que voy a explicar use términos poco comunes (de una asignatura de Matemáticas) pero el hecho no cambia. Esta asignatura, tal y como se explica y evalúa, es una vergüenza.

¿Por qué sigo dándola, entonces? Porque va a continuar existiendo con los mismos contenidos, la dé yo o no y porque dado mi contrato laboral, soy de los últimos en elegir la docencia en mi Departamento. No se ganaría nada si yo dejara de darla por un principio “ético”, pues seguiría “estando ahí”.

Conceptualmente errónea

La asignatura pretende (idealmente) transmitir las técnicas elementales que un ingeniero debería ser capaz de entender para saber cómo se resuelve un problema de manera aproximada, utilizando métodos aproximados y supuestamente hacerle capaz de discernir si son o no útiles.

Lo que ocurre es que un método (no una teoría) solo encuentra sentido ante un problema. Explicar cómo se hace algo sin tener un ejemplo concreto de dicho algo es un sinsentido. Colocar esta asignatura en primer curso, cuando los alumnos aun no tienen ni siquiera claro a qué tipo de problemas se enfrenta un ingeniero hace que se convierta en una discusión inútil sobre técnicas irrelevantes. Es poner el carro por delante del burro (de hecho, es mucho peor).

Pero lo peor viene ahora.

Está tremendamente obsoleta

Hoy día cualquier cálculo se realiza por medio de un ordenador. Además, todas las técnicas de Cálculo Numérico las desarrollan matemáticos e ingenieros trabajando conjuntamente, ya sea en departamentos universitarios o empresariales. Las técnicas, de por sí, son inútiles (por ejemplo, conocer el algoritmo de Gauss-Seidel es inútil si, para empezar, hoy día nadie lo utiliza directamente).

Lo importante en un curso de Métodos Numéricos para ingenieros NO ES conocer los métodos en su detalle, es saber cómo plantear los problemas para poder utilizar dichos métodos.

A nadie se le ocurre, hoy día, tratar de resolver una ecuación en derivadas parciales a mano. Se hace una simulación. Pero para hacer dicha simulación sí es necesario conocer qué es una ecuación diferencial, cómo se comporta ella y sus soluciones y cómo se plantea un problema.

Plantear y entender el comportamiento, eso es lo único interesante a día de hoy para un ingeniero que no se dedique a la investigación.

Por entrar en detalles:

• Los alumnos no son conscientes de que los problemas interesantes de ingeniería, hoy día, comportan siempre decenas, centenas, miles o millones de variables. Si se les explican los métodos numéricos con ejemplos de a lo sumo cuatro, se les está dando una visión terrible de la aplicación de las matemáticas.

• Intentar explicar los métodos específicos lleva a que solo puedan aprender técnicas anticuadas. Los “métodos de punto fijo” sin ningún tipo de mejora (que son los que se pueden explicar) no valen para nada y les parecen “mágicos”. Resolver ecuaciones no lineales sin ejemplos de verdad (y no se les ponen porque, insisto, no los tienen), es insistir en que las matemáticas son “magia”.

• La interpolación polinómica, de por sí, es inútil sin aplicaciones directas. Los splines tienen su interés solo como medio para algo (de hecho, para la representación e interpolación de soluciones de ecuaciones diferenciales). Como no saben nada de ecuaciones diferenciales, no van a aprender nada de ellos: van a aprobar un examen.

• Los métodos de mínimos cuadrados solo se aprenden bien aplicándolos decenas de veces. Para esto es necesario una utilización constante de buenas fuentes de datos y de problemas derivados de la vida real. En primero no tienen ni acceso a lo uno ni capacidad de entender lo otro.

• La integración aproximada con los métodos clásicos es mejor olvidarla o pasar por encima muy rápidamente. ¿De qué sirve la regla de Simpson compuesta si no son capaces de entender cómo, cuándo y por qué las cotas con las derivadas cuartas son interesantes? Pero, lo mismo: la regla de Simpson vale, primordialmente, para problemas grandes. Usarla en funciones elementales con subdivisiones pequeñas es burdo y engañoso.

• Los métodos de integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (mayormente Euler y Heun) pueden ilustrar algo a quien sepa ya algo de ecuaciones diferenciales. Pero no saben nada (han dado, a lo sumo, una semana de clases en Álgebra y quizás den en el curso siguiente un par de semanas más). No tienen problemas físicos reales a que aplicarlos y no hay tiempo para desarrollar los métodos en varias dimensiones. Entonces ¿cómo se aplican a problemas de mecánica con aceleraciones? No se puede.

• Además, aprender dichos métodos es mucho menos importante que aprender cómo se comportan las ecuaciones diferenciales ante intentos numéricos de solución. Y esto solo puede conseguirse con aplicaciones con ordenador. Pero no hay tiempo para esto.

• Estudiar el número de condición de una matriz sin saber lo que es un autovalor y sin conocer la forma de Jordan es, por decirlo llanamente, estúpido. Pero lo hacemos…

Recuerdo que solo hay 30 horas de clase de pizarra y 24 de prácticas de ordenador…

Alternativa

Como el tiempo de clase es muy limitado, creo que una opción buena es la siguiente:

• Dedicar la asignatura a dar dos temas, tanto en teoría como en las prácticas de ordenador. Estas sí me parecen interesantes en este caso y pueden ser un gran apoyo a aquéllas.

• Primer tema: interpolación exacta. Una breve explicación de la polinomial y una exposición completa de la transformada de Fourier discreta y el significado del espectro y de la dualidad entre el dominio temporal/espacial y el espectral. Esto tanto en una dimensión (señales) como en dos (imágenes). No hace falta entrar en la teoría subyacente pero sí, por ejemplo, enunciar y explicar el Teorema de Nyqist.

• Segundo tema: ecuaciones diferenciales ordinarias; su naturaleza y su integración numérica. Lo primordial sería familiarizar al alumno con la ubicuidad de las ecuaciones diferenciales (modelos mecánicos, químicos, eléctricos, biológicos, sociales…), su estudio numérico (en la teoría simplemente explicar los modelos básicos y en las prácticas, implementarlos y compararlos con los modelos modernos que utilizan los sistemas de computación). En este tema los alumnos han de hacer muchas gráficas, muchos modelos y mucho trabajo personal.

Esos dos temas son primordiales hoy día (y lo serán siempre) para el modelo mental de cualquier ingeniero: en la Universidad han de adquirir herramientas mentales, no mecánicas. Han de aprender a entender los problemas y a enfrentarse a ellos desde diferentes aspectos.

En las prácticas de laboratorio de mis apuntes en inglés hay unos ejemplos de ejercicios de ecuaciones diferenciales que dan una idea de lo que podría hacerse (téngase en cuenta que dichas prácticas contienen ejercicios de casi todos los capítulos del temario actual, así que no reflejan en absoluto lo que podría hacerse si se dispusiera de 12 horas para el tema).

Por mi parte, la evaluación sería oral, sin dudarlo.